nun musst du nicht glauben, dass hier alle anonym rumlaufen.
Als Deutsche hast du einen Pass, eine Aufenthaltskarte (wenn du erst einmal Arbeit gefunden hast) und als in Dänemark gemeldete bekommst du eine "sygesikringskort" = Krankenversichtertenkarte, die Dänen für alles mögliche benutzen: als Leihausweis in der Bücherei usw.
Ich habe meine Aufenthaltskarte oder meinen Pass allerdings noch nie gebraucht, nicht einmal als Dolmetscherin vor Gericht. Und meinen Pass benutze ich nur beim Grenzübertritt.

Dein Personalausweis gilt übrigens auch als Bewstätigung deines deutschen Wohnortes, deshalb muss man den ändern lassen oder neu beantragen, wenn man innerhalb Deutschlands umzieht...

Eine Postadresse bei Eltern oer Freunden kann ch dir nur wärmstens empfehlen, ebenso wie das Beibehalten der deutschen Krankaneversicherung, bis du eine Arbeit gefunden hast.
Gruss, vilmy